Решение задач по высшей математике
Еще вчерашние школьники каждый год первого сентября становятся студентами, обучающимися в вузах. Правда, меняется не только статус, но и программа обучения. Привычные для школьника алгебра, начала математического анализа, и геометрия становятся высшей математикой. О том, что такое высшая математика, какие разделы она включает, а также какие задачи решаются в рамках высшей математики, пойдет речь в данной статье.
 

Высшая математика: немного теории

 
Высшая математика (в студенческой среде «вышка») – это обязательный курс обучения в средних специальных (технических) и высших учебных заведениях, который включает высшую алгебру и математический анализ. Правда, на некоторых факультетах (например, физико-математический факультет) такой предмет может быть заменен на предметы, изучающие отдельные разделы высшей математики.
 

Высшая математика включает следующие разделы:

  • линейная алгебра;
  • аналитическая геометрия;
  • теория множеств;
  • дифференциальное и интегральное исчисления;
  • дифференциальные уравнения;
  • теория вероятностей и элементы математической статистики.

 

В школе элементы высшей математики преподаются в 10-11 классах.
 

Весь курс высшей математики или каждый отдельный раздел состоит из двух частей: теория и практика. Теорию на лекциях долго и упорно в течение нескольких семестров начитывают преподаватели, по ней написано много учебников, но нам куда интереснее практика.
 

В таблице ниже приведен примерный список задач, решаемых при изучении каждого раздела высшей математики.
 

Раздел высшей математики Список задач
Линейная алгебра Решение задач на определители.
Решение систем линейных уравнений.
Решение задач на матрицы и квадратичные формы.
Аналитическая геометрия Решение задач на плоскости (прямые на плоскости, кривые, геометрические построения).
Решение задач в пространстве (прямые и плоскости в пространстве, поверхности).
Теория множеств Задачи на использование операций над множествами.
Задачи на применение алгебры множеств.
Дифференциальное и интегральное исчисления Нахождение производных функций.
Вычисление пределов функций.
Вычисление неопределенных и определенных интегралов.
Решение задач на приложение определенных интегралов (вычисление площадей, объемов и т.д.).
Исследование функций, нахождение экстремумов.
Дифференциальные уравнения Нахождение решений дифференциальных уравнений 1-го, 2-го и высшего порядка.
Решение задач, приводящихся к дифференциальному уравнению.
Теория вероятностей и элементы математической статистики Задачи комбинаторики.
Нахождение вероятностей случайных событий.
Вычисление характеристик случайных величин.
Задачи по математической статистике.

 

Высшая математика: от теории к практике

 
Теория без практики это просто набор букв и символов, который легко забывается. Только в случае постоянного практического применения теоретических знаний, становится возможным их сохранение в памяти длительное время.
Рассмотрим некоторые простейшие задачи, с которыми приходится иметь дело при изучении курса высшей математики.
 

Задача 1. Линейная алгебра
Вычислить определитель
 

Решение:
Вычислить определитель можно несколькими способами, например, методом Саррюса:
Вычисление определителя

или разложением определителя по элементам строки
Разложение определителя по элементам строки
 

Есть и другие способы вычисления определителя.
 

Дальнейшее свое применение определители находят при решении систем линейных уравнений, чаще всего при решении систем трех линейных уравнений так называемым методом Крамера.
 

формулы Крамера — формулы Крамера

 

Задача 2. Аналитическая геометрия
Даны три точки Найти косинус угла между векторами
 

Решение:
В условии задачи точки определяется системой двух координат (x, y) , следовательно, имеем «плоскую» задачу.
Воспользуемся формулой:
 
Косинус угла между двумя векторами 

Координаты векторов
 

Решение задачи 2
 

Задача 3. Теория множеств
Изобразить с помощью диаграмм Эйлера-Венна множество
 

Решение:

A ∪ B ¬(A ∪ B) U\(¬(A ∪ B))

 

Задача 4. Дифференциальное и интегральное исчисления
Вычислить: а) б)
 

Решение:
Дифференцирование
 
Интегрирование
 

Задача 5. Дифференциальные уравнения
Найти общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными: Дифференциальное уравнение
 

Решение:
Разделим переменные, так чтобы слева были только x, а справа – только y. Получим:
 
Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными 

Далее интегрируем обе части равенства:
 Решение дифференциального уравнения 

Общее решение уравнения выглядит следующим образом:
 
Общее уравнение
 

Задача 6. Теория вероятностей и элементы математической статистики
В ящике находится 3 красных и 2 белых карандаша. Найти вероятность, что среди двух взятых наугад карандашей будет только 1 красный.
 

Решение:
Используем классическое определение вероятности: , где k – число благоприятных событий, m – число равновозможных событий.
3 + 2 = 5 (шт.) – число карандашей в ящике.
Извлечь два карандаша из ящика можно способами.
Извлечь 1 красный и 1 белый карандаш можно способами.
Искомая вероятность
 
 

Заключение

 
Курс высшей математики включает много теории и много задач, но не стоит этого бояться, так как изучение каждого раздела идет последовательно и предусматривает выделение достаточного количества времени на усвоение азов и закрепление первоначальных практических навыков.
 

Также приведем список наших статей, которые облегчат изучение курса высшей математики:

  1. Решение задач по линейной алгебре
  2. Решение задач по аналитической геометрии
  3. Решение задач с комплексными числами
  4. Решение задач по математическому анализу
  5. Решение задач с интегралами
  6. Дифференциальные уравнения. Что это?
  7. Решение задач по теории вероятностей

 
 

Решение задач по высшей математике на заказ

 
На нашем сайте можно заказать решение задач по математике. Наши специалисты подробно опишут ход решения, для того, чтобы вы сами смогли в нем разобраться.
Чтобы оформить заказ, заполняйте форму заказа на нашем сайте. Всегда на связи.