Решение задач с пределами и интегралами
Если на вашем пути к получению заветного образования встал математический анализ, то встречи с пределами и интегралами не избежать, и к этой встрече лучше быть готовым. В конце концов, “предупрежден — значит вооружен”. Здесь вы найдете советы по борьбе c интегралами и пределами, которые могут грозить вам расстройством сна и настроения.
 

1. Не начавши — думай, а начавши — делай

Начнем с того, что иногда можно выдать ответ, ничего не решая. Достаточно внимательно взглянуть на задание, подумать, и применить некоторые удобные свойства.
 

Трюк 1.
Если под интегралом стоит нечетная функция f(x), интегрируемая на отрезке [-a, a]:
  f (- x ) =-f ( x ),  тогда интеграл на этом отрезке для этой функции равен 0:


\int\limits_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0.
 

Например,  \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} \cdot x\,dx = 0.
 

Для четной функции  f (- x ) = f ( x ) можно использовать четность, чтобы упростить интеграл:


  \int\limits_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2 \int\limits_{0}^{a} f(x)\,dx.
 

Трюк 2.
Если вам дали предел для дроби, где и знаменатель и числитель представляют собой многочлены одного порядка, то достаточно взглянуть на коэффициенты:


  \lim\limits_{x\to\infty} \frac {a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_0} {b_n x^n + b_{n-1} x^{n-1} + \ldots + b_0} = \frac {a_n + a_{n-1} x^{-1} + \ldots + a_0 x^{-n}} {b_n + b_{n-1} x^{-1} + \ldots + b_0 x^{-n}} = \frac {a_n} {b_n}.
 

2. Не делай из мухи слона

Подумайте, а стоит ли раздувать проблему. Некоторые задачи решаются “в лоб”. Если вам дан предел, попытайтесь просто подставить число в функцию:


  \lim\limits_{x \to 1} \frac {2x^3-3x-5} {x+1} = \frac {-6} {2} = -3,\\  \lim\limits_{x\to\infty} \left( x^2-8x-9 \right) = \infty.
 

3. Какие труды, такие и плоды

Если вы хотите получать отличный результат, то поучить кое-что все-таки придется. Ни в коем случае, не стоит зубрить список из 200 интегралов и пределов. Однако, базовые интегралы и замечательные пределы выучить придется. Без отличного фундамента сложно построить надежный дом. Базовых интегралов и пределов не так уж и много, не поленитесь выучить их. Большинство интегралов и пределов на вашем пути будут лишь модификациями-мутантами, которые произошли от своих более простых предков. Поэтому, если не хотите остаться у разбитого корыта при сдаче экзамена или контрольных работ, посвятите пару часов на усвоение таких базовых интегралов и пределов как:


  \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + const,\\\\  \int \frac{dx}{x} = \ln x + const,\\\\  \int \frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a}\arctan{\frac{x}{a}} + const,\\\\  \lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1\\\\  \cdots
 

4. Играй по правилам

Решая задачи, не забывайте следовать правилам и свойствам, которые вам даны, такие, как:


  \int\left( a f(x) + b g(x) \right)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx,\\\\  \lim\limits_{x \to x_0}\left( a f(x) + b g(x) \right) = a \lim\limits_{x \to x_0}f(x) + b \lim\limits_{x \to x_0} g(x),\\\\  \lim\limits_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim\limits_{x \to x_0}f(x)}{\lim\limits_{x \to x_0}g(x)}\\\\  \cdots
 

5. Не изобретай велосипед

Многие умные люди уже придумали очень много фокусов задолго до вас. Пользуйтесь этим.
Например, если решение “в лоб” не помогает, а пристальный взгляд не дает результатов, и у вас неопределенность вида \frac{\infty}{\infty} или \frac{0}{0}, то смело применяйте правило Лопиталя:


  \lim\limits_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x} = \frac{\infty}{\infty} = \lim\limits_{x\to\infty}\frac{(\ln x)'}{x'} = \lim\limits_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim\limits_{x \to \infty}\frac{1}{x} = 0.
 

Иногда удобно пользоваться теоремой «о двух милиционерах» или, как называют ее американцы, правилом сэндвича: если g(x) \leq f(x) \leq h(x) для всех x\to x_0, быть может, лишь за исключением x=x_0, \lim\limits_{x\to x_0}g(x)=A и \lim\limits_{x\to x_0} h(x) = A, то \lim\limits_{x\to x_0} f(x) = A.

Так, например, если мы рассмотрим следующий предел:


  \lim\limits_{x\to\infty}\frac{3x+\cos x}{2x-1},
 
мы можем воспользоваться тем, что -1 \leq \cos x \leq 1, и, следовательно,

  \frac{3x-1}{2x-1} \leq \frac{3x+\cos x}{2x-1} \leq \frac{3x+1}{2x-1}.
 

Так как \lim\limits_{x\to\infty}\frac{3x-1}{2x-1} = \lim\limits_{x\to\infty}\frac{3x+1}{2x-1} = \frac{3}{2}, то


  \lim\limits_{x\to\infty}\frac{3x+\cos x}{2x-1} = \frac{3}{2}.
 

6.Научись видеть лес за деревьями

Большинство интегралов можно решить приведением к какому-нибудь простому или стандартному интегралу. И главное — уметь это увидеть и преобразовать интеграл, чтобы получить результат.
Например:


  \int\frac{x}{x^2+a^2}\,dx=\frac{1}{2}\int\frac{d x^2}{x^2+a^2}=\frac{1}{2}\int\frac{d(x^2+a^2)}{x^2+a^2}=\ln (x^2+a^2) + const
 
или

  \int\sin^6 x \cdot \cos^5 x \,dx =  \int\sin^6 x \cdot (1-\sin^2 x)^2 \cos x \,dx =\\\\=  \int\sin^6 x \cdot (1-\sin^2 x)^2 \,d(\sin x) =  \int\sin^6 x \cdot (1-2\sin^2 x + \sin^4 x) \,d(\sin x).
 
Делаем замену \sin x = y:

  \int y^6 \cdot (1-2y^2+y^4)\,dy =  \int y^6\,dy-2\int y^8 \, dy+\int y^{10} \, dy =\\\\=  \frac{y^7}{7}-2\frac{y^9}{9} +\frac{y^{11}}{11} =  \frac{\sin^7 x}{7}-2\frac{\sin^9 x}{9}+\frac{\sin^{11} x}{11}.
 

Ловкость рук (или зрения?) пригодится и при решении пределов.
 

Для пределов с квадратным корнем, мы можем, например, вспомнить, что (a+b)(a-b)=a^2-b^2, затем умножить и поделить на одно и то же выражение:


Предел с квадратным корнем
 

7. Терпение, терпение и еще раз терпение…

Если вы проходите углубленный курс математического анализа, то вам могут выдать и совсем противные интегралы или пределы. Например:


  \int\left( a y+b y^2+c y^3+d y^4 \right)e^{-y}\,dy =\\\\= a\int y e^{-y}\,dy + b\int y^2 e^{-y}\,dy + c\int y^3 e^{-y}\,dy + d\int y^4 e^{-y}\,dy.
 

Как решать? Придется терпеливо применять интегрирование по частям несколько раз:
 
Интегрирование по частям
 

А теперь остается подставить эти члены, учесть коэффициенты и упростить.
 

Такие же приключения случаются с пределами, когда приходится «лопиталить до посинения».
 

Как видите, не так страшны интегралы и пределы, как их описывают. Нужен свежий взгляд, базовые знания, немного смекалки и ловкость рук.
 

Успехов! И помните, что мы всегда готовы Вам помочь с решением задач по матану! Заявку можно оставить здесь или заполнив форму наверху страницы.