Методы оптимальных решений. Системы массового обслуживания

 
В данной статье мы рассмотрим решение задач по теме «системы массового обслуживания». Это изучается студентами на дисциплинах «исследование операций» или «методы оптимальных решений» в высших учебных заведениях на старших курсах. Есть множество разновидностей данных задач. Мы рассмотрим тип с отказами.
 

Условие

 
Сразу оговорим, что весь разбор, представленный в данной статье, взят из учебника Красса и Чупрынова – «Основы математики и её приложение в экономическом образовании». Этот учебник есть в интернете в свободном доступе. Скачав его, вы разберётесь с остальными типами заданий, если вам это будет необходимо или уточните неясные детали относительно представленного здесь разбора.

Задачи СМО с отказами говорят чаще всего о предприятии с роботами – контролерами.
 

 
Другими словами, есть некая производственная линия, её обслуживают несколько контролёров, проверяющих качество деталей. Машины работают с некоторой вероятностью отказа. Вас могут спрашивать, предположим, какова вероятность того, что деталь выйдет необслуженной при n-ом количестве контролёров, при m потоке и при x – вероятности отказа машины.

Разбор

 
Для наглядности рассмотрим следующий пример.
 
На производственной линии стоит 3 контролёра. Поток деталей на проверку не прерывается, поэтому не исключено, что изделие поступит, но ВСЕ роботы будут проверять изделие, а, значит, вновь очередная деталь останется без обслуживания. Среднее число выпускаемой продукции на линии – 20 шт/ч. Среднее время на проверку изделия – 7 мин.
 

Вопросы:
 

1. Выяснить вероятность прохождения проверки деталью
2. Определить загруженность контролёров
3. Рассчитать, количество необходимых на линии контролёров, чтобы обслуживание происходило с вероятностью ≥ 0,97.

Необходимые формулы

 
Такие задания несложные по структуре и логике действий. Здесь нужно всего-то правильно воспользоваться нужными формулами. Всё, что в условие выше было выделено курсивами, обозначается буквами в требующихся формулах. Ниже приведены пояснения.
 

n — контролёры
ƛ — среднее число производимых изделий или интенсивность потока заявок (20 шт/час = 1/3 шт/мин). У нас всё условие в минутах, поэтому и данную величину мы переведём в минуты.
— среднее время обслуживания (7 мин)
µ — интенсивность потока обслуживания. Это отношение единицы к (1/7 шт/мин)
p — интенсивность нагрузки, определяется делением ƛ на µ ( )
 
Далее применяем представленные на рисунках формулы:

1. Вероятность простоя каналов обслуживания:
    
   
   k = n – это число наших контролёров. Применительно к условиям нашей задачи, результат получается такой:
    
   
2. Теперь находим того, что обслуживание НЕ произойдёт, то есть, будет отказ:
    
   
   Для нас это:
   
3. Вероятность, что обслуживание ПРОИЗОЙДЁТ:
    
   
   
4. Среднее число обслуживающих роботов:
    
   
   
5. Доля обслуживающих роботов:
    
   
   
6. Наконец, определим абсолютную пропускную способность, хотя это в условиях нашей задачи не требуется:
    
   
   

Итак, сейчас мы установили вероятность прохождения деталью проверки – 0,7942. Выяснили, что загруженность составляет 1,853, осталось рассчитать, сколько необходимо контролёров, чтобы ≥ 0,97.

Для этого мы возвращаемся к первому шагу, увеличиваем количество контролёров на единицу. Тем самым, наша n уже будет равна 4. Повторяем шаги от 1 до третьего, получаем результат. Если это не даст требуемого результата, увеличиваем до 5, повторяем вычисления.
 

 
Найденное решение удовлетворяет условию. Всё решено.

Заключение

 
Задачи на средства массового обслуживания концептуально не сложны. Важна только внимательность и умение использовать формулы в процессе решения.