Вы уже имеете находить производные и интегралы? Тогда настало самое время, чтобы перейти к более сложной теме, а именно, решению дифференциальных уравнений (ДУ, в простонародье диффуров). Но не все так страшно, как кажется на первый взгляд.
 

Дифференциальное уравнение: что это такое?

Дифференциальное уравнение (ДУ) – это уравнение, которое вместе с самой функцией (и ее аргументами), содержит еще и ее производную или несколько производных.
 

Дифференциальное уравнение: что нужно знать еще?

Первое (и главное), что понадобится, это умение правильно определять тип дифференциального уравнения. Второе, но не менее важное, это умение хорошо интегрировать и дифференцировать.
 

Не секрет, что дифференциальные уравнения бывают разных типов. Но… для начала отметим, что ДУ бывают разных порядков. Порядок ДУ — это порядок высшей производной, входящей в дифференциальное уравнение. Классификацию ДУ согласно порядку уравнения можно посмотреть в следующей таблице:

Порядок уравнения Вид уравнения Пример
I
ДУ первого порядка
Пример ДУ первого порядка
II
ДУ второго порядка
Пример ДУ второго порядка
n
ДУ высших порядков
Пример ДУ высших порядков


 

Наиболее часто приходится иметь дело с ДУ первого и второго порядка, реже третьего. В 99% случаев в задачах встречаются три типа ДУ первого порядка: уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения и линейные неоднородные уравнения. Иногда еще встречаются более редкие типы ДУ: уравнения в полных дифференциалах, уравнения Бернулли и др. Среди ДУ второго порядка часто встречаются уравнения, приводящиеся к ДУ первого порядка, линейные однородные и неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами.
 

Дифференциальное уравнение: решение – что это значит и как его найти?

При решении ДУ нам предлагается найти либо общее решение (общий интеграл), либо частное решение. Общее решение y = f(x, C) зависит от некоторой постоянной (С — const), а частное решение не зависит: y = f(x, C0).

С геометрической точки зрения общее решение – это семейство кривых на координатной плоскости, а частное решение – это одна прямая этого семейства, проходящая через некоторую точку.

Семейство решений ДУ

Давайте рассмотрим примеры решения некоторых ДУ. Начнем с ДУ первого порядка с разделяющимися переменными:

Пример ДУ с разделяющимися переменными

Здесь все очень просто как на уроке физкультуры, когда ученики класса делятся на две команды, в одну из которых входят только мальчики, а в другую – только девочки. Применительно к уравнению делаем следующее: в левую часть от знака равенства переносим все то, что содержит переменную y, а в правую часть – переменную x.
Получаем:

Разделяем переменные

Далее интегрируем обе части:

Интегрируем обе части ДУ

Итоговое общее решение выглядит следующим образом: y = C(x-1) — 2. Все оказалось очень просто, не правда ли?
 

Не сложнее и решение однородных ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Здесь всего-то и нужно знать из курса школьной алгебры, как решаются квадратные уравнения, а из курса по ДУ, как правильно записать общее решение.
 

Для наглядности рассмотрим пример:

ДУ второго порядка

Составляем характеристическое уравнение, заменяя переменную y на переменную k, а количество штрихов соответствующей степенью (два штриха – степень 2, один штрих – степень 1, нет штрихов – степень 0). Получаем квадратное уравнение, решить которое можно с помощью дискриминанта или теоремы Виета:

Характеристическое уравнение

После того, как корни характеристического уравнения найдены, вспоминаем правила записи общего решения однородного ДУ:

  1. Корни характеристического уравнения являются действительными и различными. Общее решение записывается в виде:
    Корни характеристического уравнения являются действительными и различными
  2. Корни характеристического уравнения являются комплексными. Общее решение записывается в виде:
    Корни характеристического уравнения являются комплексными
  3. Корни характеристического уравнения являются действительными и равными. Общее решение записывается в виде:
    Корни характеристического уравнения являются действительными и равными

Вспоминаем, что наше уравнение имеет два различных действительных корня. Следовательно, общее решение запишем в виде:

Общее решение ДУ

Решение линейных неоднородных ДУ с постоянными коэффициентами выполняется в два этапа:

  1. нахождение общего решения линейного однородного ДУ;
  2. нахождение и частного решения линейного неоднородного ДУ.


 

Выполнение первого этапа рассмотрено на примере чуть раньше. То, в каком виде мы будем искать частное решение неоднородного ДУ, зависит от того, что стоит в уравнении справа от знака равенства. Все возможные случаи подробно рассматривают в учебной литературе.
 

Итак, тема «Решение задач по дифференциальным уравнениям» изучается в ВУЗах, но, как было показано выше, решить некоторые ДУ может и школьник.
 

Дифференциальные уравнения и методы их решения рассматриваются практически в каждом учебнике по высшей математике и математическому анализу. Особенно хорошо данная тема рассмотрена в учебнике автора Пискунов Н.С., а называется он «Дифференциальное и интегральное исчисления: Учеб. Для втузов. В 2-х т. Т. II». С помощью данного учебника можно самостоятельно изучить методы решения тех типов ДУ, которые не были рассмотрены в данной статье.
 
 

Решение дифференциальных уравнений на заказ

У нас вы можете выгодно заказать решение задач с дифференциальными уравнениями. Нами накоплен большой опыт решения заданий по данной дисциплине, которым мы готовы поделиться с вами. Работа будет оформлена очень подробно. При заказе большого количества задач действует скидка. Купить решение можно, сделав заказ у нас на сайте.