Решение задач по электротехнике

Теоретические основы электротехники являются фундаментальной дисциплиной для всех электротехнических специальностей, а так же для некоторых неэлектротехнических (например, сварочное производство). На этой дисциплине основываются все спец. предметы электриков. Несмотря на большой объем дисциплины и кажущуюся сложность, она основана всего на нескольких законах. В этой статье я постараюсь рассмотреть решение основных задач, встречающихся в данном курсе.
 

Законы Кирхгофа. Расчет цепей постоянного тока

В электротехнике существует два основных закона, на основании которых, теоретически можно решить все цепи.
 

Первый закон Кирхгофа выглядит следующим образом.
Сумма токов, входящих в узел, равна сумме токов, отходящих от узла.
 

image001

Для данного рисунка имеем:
I1 + I2 + I4 = I3 + I5.
 

Второй закон Кирхгофа.
Сумма напряжений вдоль замкнутого контура равна сумме ЭДС вдоль этого же контура. Для схемы на рисунке (стрелкой обозначим направление вдоль контура, которое будем считать условно положительным).
 

второй закон Кирхгофа

Начиная с узла, где сходятся токи I1, I3, I4 запишем все напряжения (по закону Ома):
-I1⋅R1 — I1⋅R2 – в первой ветви (знак минус означает, что ток имеет направление противоположное выбранному направлению контура).
I3⋅R3 – во второй ветви (знак «плюс», направление совпадает).
 

Теперь запишем ЭДС:
E2 — E3 (знак «минус» у E3, потому что направление ЭДС противоположно направлению контура).
 

В соответствии с законом Кирхгофа напряжения равны ЭДС:
-I1⋅R1 — I1⋅R2 + I3⋅R3 = E2 — E3.
 

Как видите, все довольно просто.
 

В большинстве случаев перед студентами стоит задача рассчитать величины токов во всех ветвях, зная величины ЭДС и резисторов. Для расчета сложной, разветвленной цепи постоянного тока, например этой, найденной на просторах интернета, воспользуемся следующими действиями.
 

разветвленная цепь постоянного тока

 

Для начала задаемся условно положительными направлениями токов в ветвях (это значит, что ток может течь и в противоположном направлении, тогда он будет иметь отрицательное значение).
 

image006

 

Составляем систему уравнений по второму закону Кирхгофа для каждого замкнутого контура так, чтобы охватить каждый неизвестный ток (в данной схеме имеем 3 таких контура). Направления контуров выбираем для удобства по часовой стрелке (хоть это и необязательно):
 
Система уравнений для замкнутых контуров
 

По первому закону Кирхгофа составляем столько уравнений, чтоб охватить все неизвестные токи (в данной схеме для любых трех узлов):
 
kirchhoff_2
 

Итого, имеем систему из 6 уравнений. Чтобы решить такую систему можно воспользоваться программой MathCad. Решается она следующим образом:
 

ТОЭ в MathCad

Это скриншот программы. Знак «равно» в уравнения должен быть жирным (вкладка «булевы», CTRL + “=/+”).
MathCad может решать системы любого порядка (например, схема имеет 10 независимых контуров). Но, во-первых, функция “Given” не работает с комплексными числами (об этом позже), во-вторых, не всегда есть под рукой компьютер или условие задачи поставлено так, что требуется решить схему другим методом.
 

Данный метод решения задач называется методом непосредственного применения законов Кирхгофа. Большинство студентов старших курсов (уже прослушавших курс ТОЭ), инженеров-электриков, даже преподавателей и докторов наук могут решать схемы только этим методом, т.к. другие методы применяются крайне редко.
 

Переменный ток.

Переменный синусоидальный ток (или напряжение) задается уравнением:
Переменный синусоидальный ток
Здесь Im – амплитуда тока.
ω – угловая частота, находится как ω = 2⋅π⋅f (обычно в условии задается либо f, либо ω)
φ – фаза.
 

Обычно в задачах условия задают либо в таком формате, либо в действующем значении. Амплитудное больше действующего всегда в √2 раз. Если в условии задано просто значение (например, E1 = 220 В), то это значит, что дано действующее значение.
 

Если же в условии дано «250⋅sin(314t – 15°), В», то его нужно перевести в действующее комплексное значение.
 

Про комплексные числа можно подробнее прочитать на нашем сайте.
 

Для перевода величин к действующим необходимо:
 
Переменный синусоидальный ток,
Действующий ток
 

Точечка над I означает, что это комплекс.
 

Чтобы не путать с током, в электротехнике комплексная единица обозначается буквой «j».
 

Для заданного напряжения имеем:
 
Напряжение тока
 

В решении задач обычно оперируют действующими значениями.
 

В переменном токе вводятся новые элементы:

Катушка индуктивности L – [Гн] Катушка индуктивности
Конденсатор [емкость] С – [Ф] Конденсатор

 

Их сопротивления (реактивные сопротивления) находятся как:
Сопротивление катушки
Сопротивление конденсатора
(сопротивление конденсатора — отрицательное)
 

Например, имеем схему, она подключена на напряжение 200 В, имеющего частоту 100 Гц. Требуется найти ток. Параметры элементов заданы:
 

image025
 

Чтоб найти ток, необходимо напряжение разделить на сопротивление (из закона Ома). Здесь основная задача – найти сопротивление.
 
Комплексное сопротивление находится как:
 

Комплексное сопротивление
 

Напряжение делим на сопротивление и получаем ток.
 

Все эти действия удобно проводить в MathCad. Комплексная единица ставится «1i» или «1j». Если нет возможности, то:

  1. Деление удобно производить в показательной форме.
  2. Сложение и вычитание – в алгебраической.
  3. Умножение – в любой (оба числа в одинаковой форме).

 

Также, скажем пару слов о мощности. Мощность есть произведение тока и напряжения для цепей постоянного тока. Для цепей переменного тока вводится еще один параметр – угол сдвига фаз (вернее его косинус) между напряжением и током.
 

Предположим, для предыдущей цепи нашли ток и напряжение (в комплексной форме).
Мощность
 

Также мощность можно найти и по другой формуле:
Мощность
 

В этой формуле \dot{I}^* — сопряженный комплекс тока. Сопряженный – значит, что его мнимая часть (та, что с j) меняет свой знак на противоположный (минус/плюс).
Re – означает действительная часть (та, что без j).
 

Это были формулы для активной (полезной) мощности. В цепях переменного тока существует так же и реактивная мощность (генерируется конденсаторами, потребляется – катушками).
 

Реактивная мощность цепи:
Реактивная мощность цепи

Im – мнимая часть комплексного числа (та, что с j).
 

Зная реактивную и активную мощность можно подсчитать полную мощность цепи:
Полная мощность цепи
 

Для упрощенного расчета цепей постоянного и переменного тока, содержащих большое число ветвей, пользуются одним из упрощенных методов анализа цепей. Рассмотрим подробнее метод контурных токов.
 

Метод контурных токов (МКТ)

Данный метод подходит для решения схем, содержащих больше узлов, чем независимых контуров (например, схема из раздела про постоянный ток). Принцип решения состоит в следующем:

  1. Выделяем независимые контуры (их должно быть столько, чтоб охватить все неизвестные токи). Контурные токи обычно называют I11, I22 и т.д.
    Метод контурных токов
  2.  

  3. Определяем контурные сопротивления (сумма сопротивлений вдоль контура):

     

    Далее определяются общие контурные сопротивления (те, что относятся одновременно к 2 контурам), они берутся со знаком минус:

     

    Также определяем контурные ЭДС (алгебраическая сумма ЭДС вдоль контура):

  4.  

  5. Далее составляются уравнения (если имеем 4 контура, то система будет из 4 уравнений с 4 контурными токами в каждом, если из 5, то 5 и т.д.):

     

    Данная система легко решается методом Крамера. Также в сети есть много онлайн-калькуляторов.

  6.  

  7. Зная контурные токи, можно найти токи в ветвях:
    I1 = I11 (в первой ветви протекает только контурный ток I11)
    I2 = I33 – I22 (направления контурного тока I33 совпадает с направлением I2, направление I22 – противоположно, поэтому берем со знаком минус)
    По аналогии находим остальные токи.

 

Данный метод, как и другие (например, метод узловых потенциалов, эквивалентного генератора, наложения) пригоден для цепей как постоянного, так и переменного тока. При расчете цепей переменного тока сопротивления элементов приводятся к комплексной форме записи. Система уравнений решается также в комплексной форме.
 

Литература

Из литературы можно порекомендовать Бессонова Л.А. «Теоретические основы электротехники: Электрические цепи». Также много информации в интернете на сайтах, посвященных электротехнике.
 
 

Решение электротехники на заказ

И помните, что наши «решатели» всегда готовы помочь Вам с ТОЭ. Подробнее.